全息透镜与数字全息技术

传统全息术

基本原理

全息透镜实际上是一张球面波基元全息图（或称点光源的全息图）。它相当于一块菲涅耳波带板，具有类似透镜的会聚作用和成像特性。全息透镜易制成较大的尺寸，造价低，制作方法简单，易复制，重量轻，因而在某些场合具有独特用途。全息透镜可用一束平面光波和一束球面光波的干涉来记录，也可用两束球面光波干涉来记录。全息透镜有同轴全息透镜和离轴全息透镜两种。图 1 ( a ) 所示为同轴全息透镜的记录原理，轴上点源发出的球面波与平面波干涉的结果，在记录面上两相干光波的振幅相等时，则干涉条纹的强度为：

$$ I(x,y)=|E_0|^2+2E_0\cos\big(\frac{\pi\rho^2}{\lambda z_0}\big) $$

式中，$E_0$ 表示振幅常数。由光强 $I(x,y)$ 线性曝光得到的全息图是一同心圆环干涉图，如图 1 ( b )。第 $m$ 个环带的半径平方：

$$ \rho_m^2=m\lambda z_0 \quad m=1,2,3,\cdots $$

◎ 图 1：同轴全息透镜的记录

因此，环带沿半径方向由内向外变密，全息图上干涉环带的分布和菲涅耳波带板相同。这种全息图称为全息波带板。全息波带板和菲涅尔波带板的区别在于，线性记录的全息波带板其振幅透射系数是余弦形函数，而菲涅耳波带板的振幅透射系数是矩形函数。如果仍然用参考光R照明这个线性记录的全息图（图 2），全息图只产生 0，±1 级衍射光。1 级衍射光束对参考光束的偏角即衍射角 $\theta'$，满足光栅的衍射公式：

$$ \sin\theta'=\frac{\lambda}{\rho_1} $$

一方面，根据上面的环带半径的公式，有：

$$ \frac{\lambda}{\rho_1}=\frac{\rho_1}{z_0} $$

因此：

$$ \sin\theta'=\frac{\rho_1}{z_0} $$

另一方面，当图 2 中的 $\theta$ 角很小时，有：

$$ \sin\theta\approx\tan\theta=\frac{\rho_1}{z_0} $$

因此得 $\theta'=\theta$，即衍射角等于记录时的干涉孔径角。又因为全息图的振幅透射系数是圆对称分布，所以通光口径内的 +1 级衍射光束，好像是从 $S_0$ 点射出的发散光束（图 2），所以 $S_0$ 就是全息图再现的虚像点，它和物点 $O$ 的坐标完全相同，这时全息图起着普通负透镜的作用。同理，-1 级衍射光聚集于全息图的另一侧，与 $S_0$ 成镜像位置的 $S$ 处，全息图起着普通正透镜的作用。零级光没有偏折地透过全息图，不参与成像，全息图起着平行平晶的作用。或者说，线性记录的全息图能衍射产生两个像，一个是虚像，另一个是实像。

◎ 图 2：全息波带片的衍射

当两相干的球面波或一球面波与一平面波不是同轴情况时，利用记录在全息干板上的两个相干光波的干涉条纹，就能制成离轴全息透镜。此时被记录的干涉条纹为同轴记录时形成的同心圆条纹的一部分弧形结构，条纹较密。

全息透镜具有普通透镜类似的一些性质：

全息透镜具有与正透镜类似的聚焦特性。平行光透过全息透镜时能得到一个会聚球面波，会聚点即它的焦点。焦点至全息透镜的距离即为它的焦距。应当注意：全息透镜的焦距一般并不等于制作时形成球面波的透镜的焦距。它只取决于光束会聚点至全息干板的距离，在实验中可以调节这个距离。
全息透镜也具有成像作用，其成像规律与普通透镜一致。

全息透镜还有一些与普通透镜完全不同的特性：

由于正弦型薄全息图总是同时存在 ±1 级衍射，同一个全息透镜既相当于一个正透镜，同时也相当于一个负透镜。因此，同轴全息透镜在成像时，既有类似于正透镜所成的像，同时也有类似于负透镜所成的像。离轴全息透镜的成像是离轴的，可以把它看成是一个棱镜和一个透镜的组合。透镜起成像作用，棱镜则使光轴离轴偏转，表现出离轴全息透镜的成像和转像的双重功能，而普通透镜不能两者兼是。
对于非线性记录的薄全息透镜，重现时除了 ±1 级衍射外，还同时有高次衍射，如 ±2 级、±3 级等衍射，因而全息透镜存在多重焦距和多重成像。
全息透镜具有明显的色散作用。由于衍射角对应于不同波长的入射光有着不同的数值，所以同一个全息透镜即使是对于同一级衍射所形成的会聚焦点的位置也随波长的不同而变化。也就是说，对于不同的波长，全息透镜的焦距值也不同。表现出多焦点的特点。

因而，全息透镜既可取代透镜，又可取代棱镜或光栅等，集准直、成像、转像以及分光等功能。

搭建光路

利用如图 3 所示的光路制作全息透镜。其中，$Lazer$－激光器；$M_1$、$M_2$－反射镜；$BS_1$、$BS_2$－分束镜；$L_0$－扩束镜；$Lcv$－准直透镜；$SF$－针孔滤波器；$D$－光栏；$P$－光屏。光路的光源是氦氖激光器或固体激光器。由于其出射光由于光束质量并不高，因此需要滤波。实验中使用的滤波器件是针孔滤波器，主要有显微物镜、针孔组成（图 3 中用 $L_0$、$SF$ 表示）。当小孔恰好位于显微物镜焦点，入射激光束可以被较好的滤波。滤波后的激光束经过准直透镜变换为平行光，入射到马赫－泽德干涉仪。

马赫－泽德干涉仪采用分振幅法产生双光束干涉。两块分束镜 $BS_1$，$BS_2$ 和两块反射镜 $M_1$，$M_2$ 的反射面互相平行，并且中心光路构成一平行四边形。平行光束投射到 $BS_1$ 上，$BS_1$ 的前表面将光束分成两束。它们分别由反射镜 $M_1$，$M_2$ 反射，到达分束镜 $BS_2$ 后相遇产生干涉，在光屏 $P$ 上可得到干涉条纹。

◎ 图 3：马赫－泽德干涉仪

记录全息图

按图 3 调整好马赫－泽德干涉仪光路。调整中注意使两束光的光程接近相等。在反射镜 $M_1$ 和分束镜 $BS_2$ 之间置入高鉴别率的透镜 $L$，使其光轴与原光束的光轴重合。取下光屏 $P$，用工业相机对全息图进行采集，记录较为完整的同心圆环状图样，如图 4 所示，并记录相机型号，由此可以计算得出全息透镜的主焦距。

◎ 图 4：采集到的全息图样

工业相机各项参数如图 5 所示：

◎ 图 5：工业相机参数

激光器出射激光波长为 $632.8nm$，工业相机型号为 MER-310-12UC，像素尺寸大小为 $3.2\mu m\times3.2 \mu m$。第七级圆环最外圈直径像素点为 $792$ 个，对应距离为 $2534.4\mu m$，半径为 $1267.2\mu m$。

根据公式：

$$ f=\frac{r_n^2}{2n\lambda} $$

求得焦距为 $18.12cm$。

插入透镜的焦距	透镜与像面的距离	全息透镜主焦距实测值	全息透镜主焦距计算值
200mm	39.25cm	19.25cm	18.12cm

制作全息透镜

在黑暗条件下，装上全息干板 $H$ 进行曝光，经暗室处理后得到同轴全息透镜。需要注意的是，下述步骤的处理时候随着温度的变化而调整。

显影：在 20℃±1℃ 的 D-19 显影液中漂洗 2 分钟左右，直到全息干板 $H$ 上出现灰色，在暗绿灯下观察到由灰变黑的现象，即可取出再用清水漂洗。线性记录振幅型全息图，最佳平均光密度为 0.6～1；
停显：停显液中（20℃）停显 1 分钟左右，再用清水漂洗；
定影：F-5 定影液（20℃）中定影 2 分钟左右，再水洗；
漂白：在漂白液中漂白 1 分钟左右，可观察到全息干板上的黑色褪去，即可取出水洗。振幅型全息图经过氰化钾漂白剂得到相位型全息图，使衍射效率提高。应不停地漂动全息图，得呈乳白色薄层状平板。

上述过程中除漂白以外，其余过程均需在暗室环境下进行操作。装上全息干板进行曝光前，要先设定好曝光时间为 8 秒，再等待 1 分钟左右，使整个光路的实验环境稳定下来后，再对全息干板进行曝光。而在暗房进行显影、停显及定影操作时，可用暗绿灯作为安全灯辅助实验进行。

数字全息术

基本原理

数字全息记录和再现的基本理论与普通全息是相同的，其区别在于数字全息采用数字摄像机代替干板存储全息图，通过计算机软件模拟记录光场实现图像衍射再现，简化了再现过程，实现了全息图实时记录与存储，展现了全息的数字化过程。

数字全息图记录

物光波的信息包括光波的振幅和相位，然而现有的记录介质均只能记录光强，因此，必须把相位信息转换为强度信息才能记录下物光的所有信息。全息术就是利用干涉法将空间相位调制转化为空间强度调制从而记录下物光波全部信息的方法。

◎ 图 6：数字全息图记录和再现的坐标系统变换示意图

图 6 为数字全息记录和再现的坐标系统变换示意图。物体位于物平面 $x_0y_0$ 面上，与全息平面 $xy$ 面相距 $d_0$，即全息图的记录距离。摄像机位于 $xy$ 面上，记录物光和参考光在全息平面上的干涉光强分布。$x_1y_1$ 面是数值再现的成像平面，与全息平面相距 $d$，也称为再现距离。

设位于 $x_0y_0$ 平面的物光场分布为 $U_0(x_0,y_0)$，传播到全息平面 $xy$ 面记为：

$$ O(x,y)=A_o(x,y)\exp[j\varphi_0(x,y)] $$

其中，$A_o(x,y)$ 和 $\varphi_0(x,y)$ 分别为物光波的振幅和相位分布。将到达全息平面上的参考光波记为：

$$ R(x,y)=A_r(x,y)\exp[j\varphi_r(x,y)] $$

其中，$A_r(x,y)$ 和 $\varphi_r(x,y)$ 分别为参考光的振幅和相位分布。则 $xy$ 面上全息图的强度分布为：

$$ \begin{aligned} I_H(x,y)=&|U(x,y)|^2=|O(x,y)+R(x,y)|^2\\ =&|A_o(x,y)|^2+|A_r(x,y)|^2+\\ &O(x,y)R^*(x,y)+O^*(x,y)R(x,y) \end{aligned} $$

该式前两项分别是物光和参考光的强度分布，仅与振幅有关，与相位没有关系。第三项是干涉项，包含了物光波的振幅和相位信息。参考光波作为载波，其振幅和相位都受到物光波的调制，干涉条纹则是参考光波的振幅和相位受到物光波调制的结果。

假设全息图经数字化后离散为 $N_x\times N_y$ 个点，记录全息图的 CCD 光敏面尺寸为 $L_x\times L_y$，则通过空间采样后所记录的数字全息图可表示为：

$$ I(u,v)=I_H(x,y)rect\big(\frac{x}{L_x},\frac{y}{L_y}\big)\sum_u\sum_v\delta(x-u\Delta x,y-v\Delta y) $$

其中，（$u,v=-N/2,-N/2+1,\cdots,N/2-1$）。$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 分别是 $x$ 和 $y$ 方向的采样间隔，且 $\Delta x=L_x/N_x$，$\Delta y=L_y/N_y$ ，$\delta$ 表示二维脉冲函数，矩形函数 $rect(x/L_x,y/L_y)$ 表示 CCD 靶面的有效面积。

由于数字全息是使用 CCD 代替全息干板记录全息图，因此想获得高质量的数字全息图，并完好重现物光光波，必须保证全息图表面上的光波的空间频率与记录介质的空间频率之间满足奈奎斯采样定理，即记录介质的空间频率必须是全息图表面上光波的空间频率的两倍以上。但是由于摄像机分辨率（约 100 线 / mm）比全息干板等传统记录介质的分辨（约 5000 线 / mm）低的多，而且 CCD 靶面较小，因此数字全息的记录条件不容易满足，记录结构的考虑也有别于传统全息。目前数字全息技术仅限于记录和再现较小物体低频信息，且对记录条件有其自身要求，因此想成功记录数字全息图，就必须合理的设计实验光路。

设物光和参考光在全息图表面上的最大夹角为 $\theta_{\max}$，则摄像机平面上形成最小的条纹间距 $\Delta e_{\min}$ 为：

$$ \Delta e_{\min}=\frac{\lambda}{2\sin(\theta_{\max}/2)} $$

所以全息图表面上光波的最大空间频率为：

$$ f_{\min}=\frac{2\sin(\theta_{\max}/2)}{\lambda} $$

一个给定的 CCD 像素大小为 $\Delta x$，根据采样定理，一个条纹周期 $\Delta e$ 至少要等于大于 2 倍像素周期，即 $\Delta e\geq 2\Delta x$，记录信息才不会失真。由于数字全息光路中所允许的物光和参考光夹角 $\theta$ 很小，因此 $\sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta$，有：

$$ \theta\leq\frac{\lambda}{2\Delta x} $$

所以：

$$ \theta_{\max}=\frac{\lambda}{2\Delta x} $$

在数字全息图的记录光路中，参考光与物光的夹角范围受到摄像机分辨率的限制。由于现有摄像机分辨率较低，因此只有尽可能减小参考光和物光夹角才能保证携带物体信息的物光中的振幅和相位被全息图完整的记录下来。摄像机的像素尺寸一般在 $5\mu m\sim10\mu m$ 微米范围内，故参考光和物光夹角最大值在 $2^\circ\sim4^\circ$ 范围内。

数字全息图再现

从摄像机记录的光波场，到以数字形式存储全息图，再到数值再现全息图，数字全息技术的这一过程可以看作是一个数字化的相干光学成像系统，它能产生一个复波场，而这个复波场是经原始物体折射或衍射的像。对于这个成像系统，只要在物场给定一个输入函数，就能在像场得到一个输出函数。根据数字全息图成像方式的不同，也需要选择不同的再现系统。

如图 6 所示，$x_Iy_I$ 面是数值再现的成像平面，与全息平面相距 $d$，也称为再现距离。$U_I(x_I,y_I)$ 是再现像的复振幅分布，因为它是一个二维复数矩阵，所以可以同时得到再现像的强度和相位分布。菲涅耳数字全息图再现过程就是一个菲涅耳衍射过程，根据衍射原理和再现距离可得再现平面上的光场分布，即：

$$ \begin{aligned} U_I(x_I,y_I)=&\frac{\exp(jkd)}{j\lambda d}\iint_{-\infty}^{\infty}I(u,v)C(u,v)\\ &\exp\bigg\{\frac{jk}{2d}\big[(x_I-u)^2+(y_I-v)^2\big]\bigg\}dudv \end{aligned} $$

式中，$C(u,v)$ 为计算机模拟的再现光复振幅分布。将上式中二次相位因子 $(x_I-u)^2+(y_I-v)^2$ 展开：

$$ \begin{aligned} U_I(x_I,y_I)=&\frac{\exp(jkd)}{j\lambda d}\iint_{-\infty}^{\infty}I(u,v)C(u,v)\exp\bigg[\frac{jk}{2d}(u^2+v^2)\bigg]\\ &\exp\bigg[-j2\pi\frac{1}{\lambda d}(ux_1+vy_1)\bigg]dudv \end{aligned} $$

在满足菲涅耳衍射的条件下，为了获得清晰的再现像，$|d|$ 必须等于 $d_0$ (记录距离)。当 $d=-d_0<0$ 时，原始像在焦，再现像 $U_I(x_I,y_I)$ 包含物光波原始像的复振幅分布。其中：

$$ \begin{aligned} U_I(x_I,y_I)=&\frac{\exp(jkd)}{j\lambda d}\exp\bigg[-2\frac{j\pi}{\lambda d}(x_1^2+y_1^2)\bigg]\times\\ &F^{-1}\bigg\{I(u,v)C(u,v)\exp\bigg[-\frac{jk}{\lambda d}(u^2)+v^2\bigg]\bigg\} \end{aligned} $$

当 $d=d_0>0$ 时，共轭像在焦，再现像 $U_I(x_I,y_I)$ 包含物光波共轭像的复振幅分布。其中：

$$ \begin{aligned} U_I(x_I,y_I)=&\frac{\exp(jkd)}{j\lambda d}\exp\bigg[\frac{j\pi}{\lambda d}(x_1^2+y_1^2)\bigg]\times\\ &F^{-1}\bigg\{I(u,v)C(u,v)\exp\bigg[\frac{jk}{\lambda d}(u^2)+v^2\bigg]\bigg\} \end{aligned} $$

在菲涅耳数字全息图的数值再现过程中，同样可以根据衍射距离的不同选择 S-FFT 或 D-FFT 方法进行再现计算。

数字像面全息图是物光场的像与参考光在全息平面干涉的强度分布 $I_H(x,y)$。因此 $I(u,v)$ 的傅里叶变换频谱 $I(f_u,f_v)$ 将包含原始物光波的频谱，同时存在物光共轭像的频谱及零级衍射光。如果利用频谱滤波或在参考光中引入相移等方法消除共轭像的频谱及零级衍射光，这样就将得到物光场在全息平面 $xy$ 面上的像的频谱 $I_o(f_u,f_v)$，再通过傅里叶反变换，就可以获得物光场的像的复振幅分布 $U_I(x_I,y_I)$。

容易看出，再现像的强度分布 $I_I(x_I,y_I)$ 和相位分布 $\Phi_I(x_I,y_I)$ 都可以由复振幅分布 $U_I(x_I,y_I)$ 计算得到（$^*$ 表示共轭）：

$$ \begin{aligned} I_I(x_I,y_I)&=U_I(x_I,y_I)U_I^*(x_I,y_I)\\ \Phi_I(x_I,y_I)&=\arctan\frac{Im[U_I(x_I,y_I)]}{Re[U_I(x_I,y_I)]} \end{aligned} $$

计算模拟全息记录与再现

物面与全息图抽样

数字计算机通常只能对离散的数字信号进行处理，并以离散的形式输出。因此，制作计算全息图的第一步是对物波函数进行抽样。设待记录的物波函数为：

$$ f(x,y)=a(x,y)\exp[i\varphi(x,y)] $$

其傅里叶变换（空间频谱）为：

$$ F(u,v)=A(u,v)\exp[i\varphi(u,v)] $$

为满足抽样定理的要求，物波函数及其空间频谱函数必须是带限函数，即：

$$ \begin{aligned} f(x,y)=0\quad|x|\geq\frac{\Delta x}{2},|y|\geq\frac{\Delta y}{2}\\ F(u,v)=0\quad|u|\geq\frac{\Delta u}{2},|v|\geq\frac{\Delta v}{2} \end{aligned} $$

在此条件下，根据抽样定理，对物函数及其频谱函数的抽样间隔应为：

$$ \begin{aligned} \delta x\geq\frac{1}{\Delta u},\quad\delta y\geq\frac{1}{\Delta v}\\ \delta u\geq\frac{1}{\Delta x},\quad\delta v\geq\frac{1}{\Delta y} \end{aligned} $$

取式中的等号，抽样单元总数 $M\times N=\Delta x\Delta y \Delta u\Delta v$ 是相同的。对于傅里叶变换全息图，全息图上记录的是物波的空间频谱 $F(u,v)$，因此必须对物波函数进行离散傅里叶变换。为了减少运算时间，通常采用快速傅里叶变换（FFT）算法。计算结果一般为复数：

$$ f(m,n)\stackrel{FFT}{\longrightarrow}F(j,k)=F_r(j,k)=iF_i(j,k) $$

其振幅和位相可分别表示为：

$$ \begin{aligned} A(j,k)=\sqrt{F_r^2(j,k)+F_i^2(j,k)}\\ \varphi(j,k)=\arctan\bigg[\frac{F_i(j,k)}{F_r(j,k)}\bigg] \end{aligned} $$

全息图再现

计算全息图的再现与光学全息类似，不同的是实验过程中通过软件模拟平面波光场，模拟物信息记录的实验条件，所以模拟仅在特定的衍射级次上才能再现我们希望的波前。

空间光调制器实时再现

随着计算机和采集技术的发展，在传统全息实验基础上，人们逐渐用高分辨率的 CCD 摄像机来替代全息记录干板来采集全息图。由于摄像机记录了含有物光信息的全息图，如果能将此全息图加载到再现光路上，那么就能完成光学再现。空间光调制器恰好可对光进行振幅调制和相位调制，能完成全息图加载光路的工作。

空间光调制器

空间光调制器是可在随时间变化的电驱动信号或其他信号的控制下，改变空间上光分布的振幅或强度、相位、偏振态以及波长，或者把非相干光转化成相干光。由于它的这种性质，可作为实时光学信息处理、光计算等系统中构造单元或关键的器件。空间光调制器是实时光学信息处理，自适应光学和光计算等现代光学领域的关键器件。空间光调制器一般按照读出光的读出方式不同，可以分为反射式和透射式。

想定量分析液晶屏对光的调制特性，需要将调制过程用数学方法来模拟，液晶盒里的扭曲向列液晶可沿光的透过方向分层，每一层可看作是单轴晶体，它的光学轴与液晶分子的取向平行。由于分子的扭曲结构，分子在各层间按螺旋方式逐渐旋转，各层单轴晶体的光学轴沿光的传输方向也螺旋式旋转。如图 7 所示。

◎ 图 7：TNLC 分层模型

在空间光调制器液晶屏的使用中，光线依次通过起偏器 $P_1$、液晶分子、检偏器 $P_2$，如图 8 所示。光路中要求偏振片和液晶屏表面都在 $xy$ 平面上，图中已经分别标出了液晶屏前后表面分子的取向，两者相差 $90^\circ$。偏振片角度的定义是，逆着光的方向看，$\Phi_1$ 为液晶屏前表面分子的方向顺时针到 $P_l$ 偏振方向的角度，$\Phi_2$ 为液晶屏后表面分子的方向逆时针到 $P_2$ 偏振方向的角度。偏振光沿 $z$ 轴传输，各层分子可以看作具有相同性质的单轴晶体，它的琼斯矩阵表达式与液晶分子的寻常折射率 $n_o$ 和非常折射率 $n_e$，以及液晶盒的厚度 $d$ 和扭曲角 $\alpha$ 有关。除此之外，琼斯矩阵还与两个偏振片的转角 $\Phi_1$、$\Phi_2$ 有关。因此光波强度和相位的信息可简单表示为 $T=T(\beta,\Phi_1,\Phi_2)$；$\delta=\delta(\beta,\Phi_1,\Phi_2)$，其中 $\beta=\pi d[n_e(\theta)-n_0]/\lambda$ 又称为双折射，它其实为隐含电场的量，因为 $\beta$ 为非常折射率 $n_e$ 的函数，非常折射率 $n_e$ 随液晶分子的倾角 $\theta$ 改变，$\theta$ 又随外加电压而变化。

◎ 图 8：SLM 光路示意图

在不加电压和加电压的情况下液晶屏的透光原理如图 9 所示。液晶屏两侧的起偏器和检偏器相互平行，自然光透过起偏器后变为线偏振光偏振方向为水平。右侧 $V=0$，不加电压，液晶分子自然扭曲 $90^\circ$，透过光的偏振方向也旋转 $90^\circ$，与检偏器方向垂直，无光线射出，即为关态。然而在左侧 $V\neq 0$，分子沿电场方向排列，对光的偏振方向没有影响，光线经检偏器射出，即为开态。这样即实现了通过电压控制光线通过的功能。

◎ 图 9：液晶屏的透光原理

全息透镜与数字全息技术

传统全息术

基本原理

搭建光路

记录全息图

制作全息透镜

数字全息术

基本原理

数字全息图记录

数字全息图再现

计算模拟全息记录与再现

物面与全息图抽样

全息图再现

空间光调制器实时再现

空间光调制器

实时再现

实验记录

计算机模拟全息

数字全息

可视数字全息

实时传统全息

关于全息实验

全息透镜与数字全息技术

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